LISTRIK STATIS

X. LISTRIK STATIS

X.1 Hukum Coulomb

Tinjaulah interaksi antara dua benda bermuatan yang dimensi geometrinya dapat diabaikan terhadap jarak antar keduanya. Maka dalam pendekatan yang cukup baik dapat dianggap bahwa kedua benda bermuatan tersebut sebagai titik muatan. Charles Augustin de Coulomb(1736-1806) pada tahun 1784 mencoba mengukur gaya tarik atau gaya tolak listrik antara dua buah muatan tersebut. Ternyata dari hasil percobaannya, diperoleh hasil sebagai berikut:

* Pada jarak yang tetap, besarnya gaya berbanding lurus dengan hasil kali muatan dari masing –masing muatan. * Besarnya gaya tersebut berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara kedua muatan. * Gaya antara dua titik muatan bekerja dalam arah sepanjang garis penghubung yang lurus. * Gaya tarik menarik bila kedua muatan tidak sejenis dan tolak menolak bila kedua muatan sejenis. Hasil penelitian tersebut dinyatakan sebagai hukum Coulomb, yang secara matematis:

k adalah tetapan perbandingan yang besarnya tergantung pada sistem satuan yang digunakan. Pada sistem SI, gaya dalam Newton(N), jarak dalam meter (m), muatan dalam Coulomb ( C ), dan k mempunyai harga : sebagai konstanta permitivitas ruang hampa besarnya = 8,854187818 x 10^-12 C2/Nm2. Gaya listrik adalah besaran vektor, maka Hukum Coulomb bila dinyatakan dengan notasi vector menjadi : Dimana r₁₂ adalah jarak antara q₁ dan q₂ atau sama panjang dengan vektor r₁₂, sedangkan r₁₂ adalah vektor satuan searah r₁₂. Jadi gaya antara dua muatan titik yang masing-masing sebesar 1 Coulomb pada jarak 1 meter adalah 9 x 10⁹ newton, kurang lebih sama dengan gaya gravitasi antara planet-planet.

Contoh 1:

Muatan titik q₁ dan q₂ terletak pada bidang XY dengan koordinat berturut-turut(x₁,y₁) dan (x₂,y₂), tentukanlah :

a. Gaya pada muatan q₁ oleh muatan q₂

b. Gaya pada muatan q₁ oleh muatan q₂

Penyelesaian :

a. Gaya pada muatan q₁ oleh muatan q₂

b. Gaya pada muatan q₂ oleh muatan q₁


Dari hasil perhitungan bahwa gayanya akan sama besar namun berlawanan arah. Prinsip Superposisi

Dalam keadaan Rill , titik-titik muatan selalu terdapat dalam jumlah yang besar. Maka timbullah pertanyaan : apakah interaksi antara dua titik muatan yang diatur oleh Hukum Coulomb dapat dipengaruhi oleh titik lain disekitarnya? Jawabannya adalah tidak, karena pada interaksi elektrostatik hanya meninjau interaksi antar dua buah muatan, jika lebih dari dua buah muatan maka diberlakukan prinsip superposisi (penjumlahan dari semua gaya interaksinya).

Secara matematik, prinsip superposisi tersebut dapat dinyatakan dengan mudah sekali dalam notasi vektor. Jadi misalnya F₁₂ menyatakan gaya antara q₁ dan q₂ tanpa adanya muatan lain disekitarnya, maka menurut Hukum Coulomb,

Begitu pula interaksi antara q₁ dan q₃ tanpa adanya muatan q₂, dinyatakan oleh :

Maka menurut prinsip superposisi dalam sistem q₁, q₂ dan q₃, gaya total yang dialami q₁ tak lain adalah jumlah vector gaya-gaya semula : Contoh 2 :

Tiga buah muatanmasing-masing q₁ = 4 C pada posisi (2,3), q₂ = -2 C pada posisi(5,-1) dan q₃ = 2 C pada posisi (1,2) dalam bidang x-y. Hitung resultan gaya pada q₂ jika posisi dinyatakan dalam meter.

Penyelesaian :

  

X. 2 Medan Listrik

Medan adalah suatu besaran yang mempunyai harga pada tiap titik dalam ruang. Atau secara matematis, medan merupakan sesuatu yang merupakan fungsi kontinu dari posisi dalam ruang. Medan ada dua macam yaitu :

- Medan Skalar, misalnya temperatur, potensial dan ketinggian

- Medan vektor, misalnya medan listrik dan medan magnet

Untuk membahas suatu medan listrik, digunakan pengertian kuat medan, yakni : “Vektor gaya Coulomb yang bekerja pada suatu muatan yang kita lewatkan pada suatu titik dalam medan gaya ini”, dan dinyatakan sebagai E(r). dalam bentuk matematis :

Dengan menggunakan persamaan harus diingat ;

- hubungan ini hanya berlaku untuk muatan sumber berupa titik

- pusat sistem koordinat ada pada muatan sumber

- besaran yang digunakan dalam sistem MKS

- hubungan diatas hanya berlaku dalam vakum atau udara

X.2.1 Kuat Medan Listrik oleh Satu Muatan Titik

Muatan sumber q berupa muatan titik terletak pada vektor posisi r’, sedang titi p pada posisi r. Posisi relatif p terhadap muatan sumber adalah (r-r’), vektor satuan arah SP adalah

Jadi kuat medan listrik E di titik r oleh muatan q adalah X.2.2 Kuat Medan Listrik oleh Beberapa Muatan Titik

Jika sumber muatan berupa beberapa muatan titik yang berbeda besar dan posisinya, maka kuat medan listrik resultan E (r )adalah penjumlahan masing-masing kuat medan, dimana secara matematis dinyatakan sebagai

Bila ada N buah muatan titik sebagai sumber, dengan muatan sumber q₁ yang masing-masing berada pada jarak ri’, maka medan resultan pada vector posisi r adalah : Contoh 3

Dua buah muatan berada pada bidang x-y dengan masing-masing muatan q₁ = 7C pada pusat koordinat dan muatan q₂ = 5 C terletak pada sumbu x positif berjarak 0,3 meter dari pusat koordinat.

a. tentukan besar dan arah kuat medan listrik di titik P yang terletak pada sumbu y positif yang berjarak 0,4 meter dari pusat koordinat.

b. Tentukan gaya yang dialami oleh muatan sebesar 2 x 10^-3 C jika terletak di titik P.

Penyelesaian :

 

X. 3 Hukum Gauss

Michael Faraday memperkenalkan cara menggambarkan medan (listrik, magnet, maupun gravitasi) melalui konsep garis gaya (garis medan). Garis gaya adalah garis-garis lengkung dalam medan yang dapat menunjukkan arah serta besarnya E pada setiap titik masing-masing dengan garis singgung dan kerapatan garisnya pada titik yang bersangkutan

Garis-garis gaya berawal pada titik muatan positif dan berakhir pada titik muatan negatif. Diantara titik awal dan titik akhir, garis gaya selalu kontinu dan tidak mungkin berpotongan, kecuali pada titik muatan lain yang terdapat diantaranya Jumlah garis-garis gaya listrik yang menembus suatu permukaan secara tegak lurus didefenisikan sebagai fluks magnetic . Bila diketahui kuat medan E, maka jumlah garis gaya d yang menembus suatu elemen dA tegak lurus pada E adalah : Bila permukaan dA tidak tegak lurus maka jumlah garis yang keluar dari dA haruslah Dimana dA = ndA atau n adalah vektor normal dan sudut antara dA dengan bidang yang tegak lurus pada E. Bila kuat medan pada elemen seluas dA dan E, maka jumlah garis gaya yang keluar dari seluruh permukaan S adalah : Elemen luas dA berada pada permukaan S harga medan ;listrik E diambil semua titik pada permukaan S. Fluks listrik total untuk seluruh permukaan Tanda menyatakan integrasi yang meliputi seluruh permukaan A. Untuk permukaan tertutup, elemen dA tegak lurus permukaan dan arahnya keluar. Fluks total untuk permukaan tertutup Ternyata ada hubungan yang erat antara fluks listrik pada suatu permukaan tertutup dengan muatan listrik yang berada dalam permukaan tersebut dan hubungan ini dikenal dengan hukum Gauss, yaitu”jumlah garis gaya yang keluar dari suatu permukaan tertutup sebanding dengan jumlah muatan listrik yang dilingkupi oleh permukaan tetutup tersebut. Secara matematis Dimana S adalah suatu permukaan tertutup q_i adalah jumlah muatan yang ada di dalam atau dilingkupi oleh permukaan tetutup S. jadi dengan hukum gauss kita dapat menentukan muatan yang ada di dalam permukaan tetutup, bila kita tahu berapa garis gaya yang keluar dari permukaan tetutup tersebut.

Contoh 4.

Di dalam ruang seperti pada gambar di atas terdapat medan listrik serba sama sebesar 10N/C berarah sumbu z kebawah. Hitung jumlah garis gaya yang keluar dari

a. Luas OABC (luas OABC = 2 m²)

b. Luas OFDC (luas OFDC = 2 m²)

Penyelesaian

a. Kuat medan listrik secara vector adalah E = -k 10 N/C Banyaknya garis gaya

Atau garis gaya banyaknya 20 buah dan arahnya menembus bidang OABC. Arah dA ada pada sumbu z positif sehingga d = dA

b. pada bidang ini dA = -jdA sehingga

Jadi banyaknya garis gaya = 0, berarti tidak ada garis gaya yang menembus bidang OFDC 

X.3.1 Pemakaian Hukum Gauss

a. Distribusi muatan dalam konduktor

Di dalam konduktor dapat dialirkan arus listrik sebab elektron pada konduktor dapat bergerak bebas. Berbeda dengan isolator, semua elektron terikat pada masing-masing atom sehingga bila ada medan listrik, elektron tetap tidak bergerak, akibatnya tidak ada arus yang mengalir. Bila pada konduktor diberi muatan, maka akan tejadi perubahan distribusi elektron bebas. Setelah semua elektron menempati posisinya, medan listrik dalam logam harus sama dengan nol, sebab bila tidak maka elektron bebas akan bergerak dalam logam. Bila terus diberikan (melampaui keadaan setimbang), muatan ada pada permukaan logam . jika dipilih sebuah permukaan S tepat di bawah, maka menurut hukum Gauss muatan pada permukaan itu harus nol sebab medan listrik pada permukaan logam harus nol, atau:

b. Pelat Tipis Bermuatan

Bila kita mempunyai selembar pelat tipis dengan luas yang cukup besar diberi muatan +Q yang tersebar secara homogen pada pelat tersebut. Untuk menghitung kuat medan E pada jarak r, maka kita harus membuat permukaan gauss

Dari gambar dapat ditarik beberapa kesimpulan sebagai berikut

* Karena pelat luas dan muatan tersebar homogen, maka medan listrik harus serba sama dan tegak lurus pada pelat.

* Karena garis gaya untuk sejajar dan mempunyai kerapatan sama maka kuat medan yang dihasilkan disetiap tempat juga sama, baik besar maupun arahnya.

Untuk menghitung kuat medan listrik, maka dibut sebuah permukaan Gauss. Bentuk permukaan Gauss dipilih dengan tujuan untuk mempermudah persoalan. Jika dipilih permukaan Gauss yang berbentuk silinder dengan panjang 2r dan penampangnya berbentuk lingkaran. Permukaan tersebut dibagi tiga bagian

* Tutup kanan S1 berbentuk lingkran

* Selubung silinder S2 berbentuk persegi empat

* Tutup kiri S3 juga berbentuk silinder

Misalkan luas penampang silinder adalah A, maka rapat muatan = Q/A. karena muatan tersebut secara homogen , muatan yang terkandung dalam permukaan gauss S adalah Q₂ =A. Hukum Gauss dengan Qs sebagai muatan yang terkandung dalam S. Selanjutnya integral tertutup dapat diuraikan menjadi : suku pertama bagian kanan persamaan dengan elemen luas dA diambil pada S₁ sehingga dA=idA dengan i sebagai vector satuan pada sumbu x positif. Sedangkan kuat medan E=+iE jadi :


Suku kedua pada bagian kanan persamaan sama dengan 0 sebab dA pada S₂ berarah tegak lurus E .

Pad suku ketiga, elemen luas dA pada S₃ berarah ke kiri, jadi dA=-idA dan kuat medan listrik pada S₃ juga berarah ke kiri, yaitu E=-iE: jadi :

Akibatnya menjadi :

c. Bola Bermuatan

Misalkan diambil sebuah bola terbuat dari bahan isolator dengan jari-jari R. Bola ini mempunyai muatan yang tersebar merata di dalam bola isolator tersebut. Kemudian , bagaimana menghitung kuat medan listrik di dalam dan diluar bola. Karena muatan tersebut merata dalam bola, rapat muatan dalam bola adalah : Kita buat permukaan gauss berupa bola dengan jejari r. Hukum Gauss menyatakan Dimana Q adalah muatan listrik yang dilingkupi oleh S1 dalam hal ini : Pada permukaan Gauss,dA=rdA, sehingga E=rE, karena baik medan listrik maupun elemen luasan , keduanya dalam arah radial. Harga E tak bergantung pada arah , jadi juga tak bergantung pada dA. Dengan demikian integral permukaan pada Gauss dapat ditulis sebagai : dari hukum Gauss diperoleh : Untuk medan diluar bola , kita pandang titik Q di luar bola dan berjarak r dari pusat bola . Kuat medan pada titik Q dapat dihitung dengan membuat permukaan Gauss melalui titik Q dan menggunakan hukum Gauss. Permukaan Gauss S dibuat membentuk bola dengan jari-jari r.Hukum Gauss menyatakan Muatan Q yang dilingkupi S sama dengan muatan tota; Q pada bola, Q = Q pada permukaan S, E sejajar dA, kuat medan E isotropic yang mempunyai besar sama pada semua titik di permukaan S. Hukum Gauss menjadi : Persamaan diatas menyatakan bahwa kuat medan diluar bola sama dengan medan yang dihasilkan bila seluruh muatan Q terletak di pusat bola.